Опубликован: 26.04.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный
Лекция 12:

Стратегическое равновесие в 2 x 2 играх

< Лекция 11 || Лекция 12: 123 || Лекция 13 >

Смешанные расширения m x n биматричных игр

Рассмотренная выше схема выбора поведения, основанная на (искусственном) внесении неопределенности путем использования случайных механизмов, может быть обобщена на случай, когда число чистых стратегий каждой из сторон превышает две. При таком подходе первая сторона P1 использует рулетку, которая имеет m исходов, характеризуемых вероятностями наступления xi, 1\le i\le m, а вторая сторона - рулетку с n исходами, характеризуемыми вероятностями наступления yj, 1\le j\le n. При этом m и n есть числа чистых стратегий, имеющихся соответственно у первой и второй сторон. Теперь введем следующее определение.

Определение 2.5. Смешанными стратегиями игроков P1 и P2 в m\times n биматричной игре соответственно называются векторы

\begin{gathered}
x = (x_1 \dots x_j \dots x_m) \in S_m \subset R^m,\\
y = (y_1 \dots y_j\dots y_n) \in S_n \subset R^n,
\end{gathered}
где Sm и Sn есть множества векторов с неотрицательными координатами, сумма которых равна единице, т.е.
\begin{gathered}
S_m = \{x \in R^m \colon x_i \ge 0,\ 1 \le i \le m,\quad x_1 + \ldots + x_m = 1\},\\
S_n = \{y \in R^n \colon y_j \ge 0,\ 1 \le j \le n,\quad y_1 + \ldots + y_m = 1\}.
\end{gathered} ( 11.15)
Числа xi и yj есть вероятности, с которыми (независимые) рулетки игроков P1 и P2 порождают исходы соответственно с номерами i и j. Тем самым определяется использование игроками P1 и P2 соответственно чистой стратегии с номером i и чистой стратегии с номером j в текущей партии игры. пар

Поскольку в классе Sm смешанных стратегий2Многомерные фигуры, обладающие свойствами (11.15), называются симплексами .} стороны P1 для любого номера i, 1\le i\le m, существует стратегия x(i), удовлетворяющая условиям

x_k(i) = 0,\quad k = 1\dots i-1, i+1\dots m,\quad x_i(i) = 1,
и, следовательно, обеспечивающая применение чистой стратегии i с единичной вероятностью, то игра в чистых стратегиях может интерпретироваться как частный случай игры в смешанных стратегиях. Аналогичное утверждение справедливо для игрока P_2.

Выбор игроками P1 и P2 смешанных стратегий x \in S_m и y \in S_n еще не определяет конкретного исхода игры. В связи с этим, в качестве оценок эффективности M1(x, y) и M2(x,y), которую обеспечивает игрокам выбор пары (x,y), принимаются математические ожидания

\begin{gathered}
M_1(x,y) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i y_j,\\
M_2(x,y) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n b_{ij} x_i y_j,
\end{gathered} ( 11.16)
при определении которых учтена (вероятностная) независимость случайных механизмов, используемых сторонами.

Если принять, что x и y есть векторы-столбцы, и обозначить матрицы, представляющие выигрыши первого и второго игроков (при игре в чистых стратегиях), соответственно через A и B, то, согласно (11.16), смешанное расширение m\times n биматричной игры можно представить следующей моделью (в нормальной форме):

M_1(x,y) = x^{T} Ay,\quad M_2 (x,y) = x^{T} By,\quad x \in S_m,\ y \in S_n ( 11.17)
(верхний индекс T соответствует операции транспонирования, сопоставляющей вектору-столбцу вектор-строку).

Для произвольной m\times n биматричной игры справедливо утверждение, что в ее смешанном расширении существует хотя бы одна ситуация равновесия (по Нэшу). Т.е. в смешанном расширении каждой биматричной игры существует пара смешанных стратегий ( x*,y*), удовлетворяющая неравенствам (3.3), где X=Sm и Y=Sn. В случае, когда интересы сторон являются противоположными (антагонистическими), это утверждение подразумевает существование седловой точки (x*,y*) ядра

M(x,y) = M_1(x,y) = x^T Ay, ( 11.18)
удовлетворяющей условиям:
(\forall x \in S_m) (\forall y \in S_n)\quad x^T Ay^\ast \le x^{\ast T} Ay^\ast \le x^{\ast T}Ay; ( 11.19)
см. (6.2) и (6.3).

Существование пар стратегий, удовлетворяющих условиям (11.9) и, следовательно, являющихся равновесными решениями для смешанных расширений m\times n антагонистических игр, которые имеют ядра вида (11.18) (с любыми матрицами A ), будет показано в следующем параграфе. Доказательство упомянутого выше факта разрешимости условий (6.3) для смешанного расширения (11.17) любой m \times n биматричной игры может быть найдено в других источниках3См., например: Оуэн Г. Теория игр. - М.: Мир, 1971.. Мы опускаем это доказательство в нашей небольшой (соответствующей программе вводного курса) книге, поскольку для общего m\times n случая (в отличие от уже рассмотренных 2\times 2 задач) оно не дает способа вычисления пары стратегий, порождающих ситуацию равновесия (т.е. оно не является конструктивным ). Кроме того, как уже было отмечено, анализ устойчивости в таких задачах может оказаться недостаточным для выработки удовлетворительных схем поведения сторон.

< Лекция 11 || Лекция 12: 123 || Лекция 13 >
Михаил Агапитов
Михаил Агапитов
ВКР
Подобед Александр
Подобед Александр
Как оплатить обучение?
Гаральд Егоркин
Гаральд Егоркин
Россия
Михаил Алексеев
Михаил Алексеев
Россия, Уфа, УГАТУ, 2002